TRY OUT OSN MATEMATIKA- 2025 #1

1. KEMAMPUAN DASAR :

Lingkaran 𝛾1 dan 𝛾2 memiliki jari-jari 6 dan 8, berturut-turut Jarak kedua titik pusat lingkaran adalah 10. Lingkaran 𝛾3 menyinggung 𝛾1 dan 𝛾2 di dalam, dan juga menyinggung garis yang menghubungkan pusat lingkaran 𝛾1 dan 𝛾2 Misalkan panjang jarijari lingkaran 𝛾3 dapat dinyatakan sebagai 𝑎√𝑏 + 𝑐 di mana 𝑎, 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐 adalah bilangan bulat, 𝑏 > 0 , dan 𝑏 tidak habis dibagi oleh kuadrat sempurna apa pun selain 1. Tentukan nilai dari |𝑎 + 𝑏 + c| !

2. KEMAMPUAN LANJUT :

Anda dan Banda masing-masing tinggal di kamar yang berbeda dalam sebuah apartemen dengan 10 kamar di setiap lantainya. Sistem penomoran kamar pada apartemen tersebut adalah sebagai berikut: kamar nomor 1-10 berada di lantai 1, kamar nomor 11-20 berada di lantai 2, dan seterusnya. Diketahui bahwa nomor kamar Anda sama dengan nomor lantai dari kamar Banda. Jika 𝑛 adalah jumlah nomor kamar Anda dan nomor kamar Banda, tentukan banyaknya nilai yang mungkin untuk n dengan syarat 1 ≤ 𝑛 ≤ 1000.

3. KEMAMPUAN DASAR :

Misalkan ABC adalah segitiga lancip. Titik D, E, dan F terletak pada sisi BC, CA, dan AB, berturut-turut, sedemikian sehingga AD, BE, dan CF adalah garis tinggi segitiga ABC. Titik H adalah titik tinggi segitiga ABC. Jika DE = 4√2, DF = 3√2 , dan EF = 5√2 tentukan kuadrat dari panjang AH.

4. KEMAMPUAN DASAR :

Hanip ada di titik (0, 0), dia adalah seorang manusia aneh yang hanya bisa bergerak

1. 2 ke kanan dan 1 ke atas
2. 1 ke kiri dan 2 ke atas
3. 2 ke kiri dan 1 ke bawah
4. 1 ke kanan dan 2 ke bawah

Hanip ingin bergerak sebanyak 10 langkah dengan syarat berakhir di titik (0, 0). Berapa banyak cara yang bisa Hanip lakukan?

5. KEMAMPUAN LANJUT :

Misalkan ABC adalah segitiga dengan BC = 9 dan AB = 7 Titik D terletak pada BC dan E pada AC sehingga AD adalah garis berat dan BE adalah garis bagi dalam ∠𝐴𝐵𝐶. Jika 𝐸𝐴 = 𝐸𝐷 dan keliling segitiga ABC dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑝 + √𝑞 dengan p dan q adalah bilangan asli, tentukan nilai dari 𝑝 + q !

6. KEMAMPUAN DASAR :

Misalkan 𝑋 adalah banyaknya variasi dari (𝑎_𝑖 , 𝑎_𝑗 , 𝑎_𝑘, 𝑎_𝑙, 𝑎_m)dalam sebuah barisan berisi bilangan dengan panjang 2025, dengan syarat:

1. 𝑎_𝑖 + 4 = 𝑎_𝑗 + 3 = 𝑎_𝑘 + 2 = 𝑎_l + 1 = 𝑎_m
2. 𝑖 < 𝑗 < 𝑘 < 𝑙 < m

Misal 𝑌⁵ = 𝑋.
Berapakah nilai maksimum dari 𝑌? (Setiap bilangan dalam barisan berupa bilangan real)

7. KEMAMPUAN DASAR :

Lingkaran berpusat di O dan P berada dalam persegi pada gambari diatas. Luas persegi yang besar adalah 324 cm² dan luas persegi yang lebih kecil adalah 64cm² . Jika A , B dan C terletak pada garis lurus. Panjang OP dapat ditulis menjadi √n. Tentukan nilai n !

8. KEMAMPUAN LANJUT :

Tentukan banyak pasangan bilangan bulat (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi persamaan 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑥³ + 𝑦³ + 𝑧³ = 3?

9. KEMAMPUAN LANJUT :

Keliling dari segitiga yang memiliki tiga buah garis tinggi dengan panjang 2, 3, 4 dapat dinyatakan dalam bentuk (𝑎√𝑏)/𝑐 , dengan a dan c adalah bilangan asli yang relatif prima dan b adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi oleh bilangan kuadrat apa pun selain 1. Hitunglah nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

10. KEMAMPUAN LANJUT :

Tentukan bilangan asli terbesar 𝑛 < 120 yang memenuhi syarat berikut: jika sebarang bilangan 𝑚 dipilih dari himpunan {1,2, … ,120}, peluang bahwa m membagi n adalah 1/10

11. KEMAMPUAN DASAR :

Berapa banyak cara menyusun OSK2025 dimana angka 0 selalu berada pada posisi pertama dan angka 5 berada pada posisi terakhir. ?

12. KEMAMPUAN DASAR :

Misal 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑥 ³ + 𝑏𝑥 ² + 𝑐𝑥 + 𝑑 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅. Jika 𝑃(1) bernilai 18 dan 𝑃(−1) bernilai 2 tentukan nilai minimum dari |𝑎| + |𝑐|?

13. KEMAMPUAN LANJUT :

Tentukan banyaknya cara empat pasang suami-istri dapat duduk pada meja bundar dengan 10 kursi identik sedemikian sehingga setiap pasang suami-istri duduk bersebelahan.

14. KEMAMPUAN LANJUT : 

Tentukan hasil penjumlahan x+y+z semua pasangan (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi persamaan 𝑥! 𝑦! = 𝑥! + 𝑦! + 𝑧! jika 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑁₀,? dimana 𝑁₀ merupakan himpunan bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan 0.

15. KEMAMPUAN DASAR :

p,q,r bilangan asli. Tentukan banyaknya solusi (p,q,r) , jika p+3q+5r=50 !

16. KEMAMPUAN LANJUT :

Hanip ingin mengikuti pertandingan bulu tangkis yang diselengarakan di sekolahnya. Di pertandingan ini ada 8 peserta dan akan dilakukan sistem gugur turnamen. Di pertandingan ini juga ada Hansu yang sudah sangat jago di kalangan sekolahnya. Dia pasti menang melawan 7 peserta lainnya. Peluang Hanip masuk final adalah 𝑎/𝑏 . berapa nilai 10𝑎 + 𝑏?

( (𝑎, 𝑏) 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎)

17. KEMAMPUAN LANJUT :

Sebuah segitiga ABC dengan ∠𝐴 = 50°, ∠𝐵 = 72°, misal titik D, E, F berturut turut terletak pada titik tengah garis 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴𝐵. Misal 𝑇 terletak di garis 𝐴𝐶 sehingga 𝑇𝐵 ⊥ 𝐴𝐶. Berapa nilai dari ∠𝐹𝑇𝐷?

18. KEMAMPUAN DASAR :

N adalah bilangan 8 angka terbesar yang bisa kita buat sehingga angka yang berdekatan akan membentuk bilangan prima dua digit, dan semua bilangan prima dua digit itu berbeda. Tentukan sisa pembagian dari N ketika dibagi 1000

19. KEMAMPUAN LANJUT :

Untuk setiap 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, Diberikan sebuah fungsi 𝑓: ℤ → ℤ yang memenuhi

𝑚 + 𝑓 (𝑚 + 𝑓(𝑛 + 𝑓(𝑚))) = 𝑛 + 𝑓(𝑚)

Jika 𝑓(5) = 5, tentukan 2-digit terakhir dari 𝑓(−2025) !

20. KEMAMPUAN DASAR :

Misalkan PQR adalah segitiga dengan panjang sisi PQ = 7, QR = 8, dan RP = 9 .Titik S dan T terletak pada sisi QR dan RP, berturut turut, sehingga PS dan QT adalah garis bagi ∠P dan ∠Q, berturut turut. Proyeksi titik R ke garis PS dan QT adalah X dan Y, berturut turut. Hitung panjang 𝑋𝑌!